라리타-슈윙거 방정식

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 라그랑지안 밀도
3. 성질
4. 역사
참조

1. 개요

라리타-슈윙거 방정식은 스핀 다양체에서 정의되는 편미분 방정식으로, 무질량 라리타-슈윙거 장을 설명한다. 이 방정식은 라그랑지언으로부터 유도되며, 게이지 대칭성을 갖는다. 라리타-슈윙거 장은 로런츠 군의 표현으로 표현되며, 게이지 변환 및 질량 껍질과 관련된 특징을 보인다. 전자기학과의 결합 시 초광속 전파 문제를 야기할 수 있지만, 초대칭성에서는 해결될 수 있다. 윌리엄 라리타와 줄리언 슈윙거에 의해 1941년에 도입되었다.

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라리타-슈윙거 방정식
기본 정보
수학적 표현	, ) ⊗ ((, 0) ⊕ (0, ))}}
관련 입자	델타
다른 이름	라리타-슈윙거 방정식
역사적 정보
개발자	윌리엄 라리타, 줄리언 슈윙거
발표 연도	1941년
참고 문헌	''

2. 정의

스핀 다양체 $(M,g)$ 의 (디랙 또는 마요라나 또는 바일 또는 마요라나-바일) 스피너 다발 $S\twoheadrightarrow M$ 와 필바인 $E\twoheadrightarrow M$ , $e_\mu^a \in \Omega^1(M;E)$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

: $\psi_\mu\mathrm dx^\mu\in\Omega^1(M;S)$

에 대하여 다음과 같은 편미분 방정식을 적을 수 있으며, 이를 (무질량) '''라리타-슈윙거 방정식'''이라고 한다.^[9]

: $\gamma^\mu\partial_{[\mu}\psi_{\nu]} = 0$

이 방정식은 라그랑지안으로부터 유도되며, 운동 방정식을 얻기 위해 장 $\psi_\mu$ 에 대해 라그랑지안을 변화시키면 다음과 같다.

: $\delta \mathcal L_{RS} =\delta \bar \psi_\mu \gamma^{\mu\nu\rho} \partial_\nu \psi_\rho+ \bar \psi_\mu \gamma^{\mu\nu\rho} \partial_\nu \delta \psi_\rho= \delta \bar \psi_\mu \gamma^{\mu\nu\rho} \partial_\nu \psi_\rho$

\partial_\nu \bar \psi_\mu \gamma^{\mu\nu\rho} \delta \psi_\rho

+ \text{ 경계항}

마요라나 플립 속성(Majorana flip properties)을 사용하면^[4], 우변의 두 번째 항과 첫 번째 항이 같다는 것을 알 수 있다. 따라서 다음을 얻는다.

:

\delta \mathcal L_{RS} = 2 \delta \bar \psi_\mu \gamma^{\mu\nu\rho} \partial_\nu \psi_\rho,

여기서 중요하지 않은 경계 항이 발생한다.

\delta \mathcal L_{RS} = 0

을 적용하면, 질량이 없는 마요라나 라리타-슈윙거 스피너(Majorana Rarita–Schwinger spinor)에 대한 운동 방정식은 다음과 같다.

:

\gamma^{\mu\nu\rho} \partial_\nu \psi_\rho = 0.

질량이 없는 라리타-슈윙거 방정식의 게이지 대칭성은

\gamma^\mu \psi_\mu = 0

게이지를 선택할 수 있게 하여, 방정식을 다음과 같이 단순화한다.

:

\gamma^\nu{\partial}_\nu \psi_\mu = 0, \quad\partial^\mu \psi_\mu = 0, \quad\gamma^\mu \psi_\mu = 0.

이 방정식의 해는 스핀 1/2와 3/2를 가지며, 다음과 같이 표현된다.^[5]

:

\psi_0=\kappa, \quad \psi_i = \psi^{TT}_i + \frac{\gamma^j\partial_j}{\nabla^2}\gamma_0\partial_i\kappa,

여기서

\nabla^2

는 공간 라플라시안이고,

\psi^{TT}_i

는 이중 횡단^[6]으로 스핀 3/2를 가지며,

\kappa

는 질량이 없는 디랙 방정식을 만족하여 스핀 1/2를 갖는다.

2. 1. 라그랑지안 밀도

이는 다음과 같은 라그랑지언으로부터 유도된다.^[9]

:

\mathcal L=- \int\mathrm d^Dx\,(\det e) \bar\psi_\mu\gamma^{\mu\nu\rho}\partial_\nu\psi_\rho

:

\gamma^{\mu\nu\rho} = \frac16\left(\gamma^{\mu}\gamma^\nu\gamma^\rho

\gamma^\mu\gamma^\rho\gamma^\nu

+\gamma^\nu\gamma^\rho\gamma^\mu

\gamma^\nu\gamma^\mu\gamma^\rho

+\gamma^\rho\gamma^\mu\gamma^\nu

\gamma^\rho\gamma^\nu\gamma^\mu

\right)

일부 경우 여기에 질량항을 추가할 수도 있다. 라그랑지안 밀도로 설명되는 질량이 없는 라리타-슈윙거 장/마당(Rarita–Schwinger field)을 고려하면 다음과 같다.

:

\mathcal L_{RS} = \bar \psi_\mu \gamma^{\mu\nu\rho} \partial_\nu \psi_\rho,

여기서 스핀 지수에 대한 합은 암묵적이며,

\psi_\mu

는 마요라나 스피너(Majorana spinors)이다.

:

\gamma^{\mu\nu\rho} \equiv \frac{1}{3!} \gamma^{[\mu}\gamma^\nu \gamma^{\rho]}.

라리타-슈윙거 장의 라그랑지안 밀도는 다음과 같이 표기된다.

:

\mathcal{L}= i\epsilon^{\mu \nu \rho \sigma} \bar{\psi}_\mu \gamma^5 \gamma_\nu \partial_\rho \psi_\sigma - m \bar{\psi}_\mu \psi^\mu

여기서,

\bar{\psi}_\mu

는 라리타-슈윙거 장의 수반 표현이다.

3. 성질

라리타-슈윙거 방정식은 다음과 같은 성질을 갖는다.

게이지 변환: 2ⁿ차원에서 라리타-슈윙거 방정식의 게이지 변환은 $\psi_\mu \mapsto \psi_\mu + \partial_\mu\epsilon$ 과 같다.^[9]
질량 껍질: 질량 껍질 위에서, 라리타-슈윙거 장은 특정 수의 자유도를 갖는다. 예를 들어 (1,3)차원 민코프스키 공간에서 마요라나 라리타-슈윙거 장은 2개의 자유도를 갖는다.^[9]
로런츠 군의 표현: 라리타-슈윙거 장은 로런츠 군의 특정 표현으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 (1,3)차원에서 $(1,\tfrac12)\oplus(\tfrac12,1)$ 표현에 해당한다.

하지만, 라리타-슈윙거 방정식은 몇 가지 문제점을 안고 있다. 대표적인 문제점은 다음과 같다.

초광속 전파: 라리타-슈윙거 방정식이 전자기학과 상호작용할 때, 방정식의 해 중 일부는 빛보다 빠르게 전파될 수 있다.^[7] 이는 인과율에 어긋나는 현상이다.

3. 1. 게이지 변환

2^n

차원의 게이지 변환은 다음과 같다.^[9]

:

\psi_\mu \mapsto \psi_\mu + \partial_\mu\epsilon

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간에서 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가진다. 이 경우, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×3 = 12개의 실수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군

\operatorname{SO}(1,3)

의 범피복군의

:

(1,\tfrac12)\oplus(\tfrac12,1)

표현에 해당한다.

(1,5)차원에서 바일 스피너는 4개의 복소수 성분을 가지며, 라리타-슈윙거 장은 4×5 = 20개의 복소수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군

\operatorname{SO}(1,5)

의 콤팩트화

\operatorname{Spin}(6) \cong \operatorname{SU}(4)

의 20차원 표현

:

\operatorname{Sym}^3\mathbf4 = \mathbf{20}

에 해당한다.

(1,10)차원에서 마요라나 스피너는 32개의 실수 성분을 가지며, 마요라나-슈윙거 장은 32×10 = 320개의 실수 성분을 갖는다.

질량이 없는 라리타-슈윙거 방정식의 게이지 대칭성은 게이지

\gamma^\mu \psi_\mu = 0

의 선택을 허용하여, 방정식을 다음으로 줄인다.

:

\gamma^\nu{\partial}_\nu \psi_\mu = 0, \quad\partial^\mu \psi_\mu = 0, \quad\gamma^\mu \psi_\mu = 0.

스핀 1/2와 3/2를 갖는 해는 다음과 같다.^[5]

:

\psi_0=\kappa, \quad \psi_i = \psi^{TT}_i + \frac{\gamma^j\partial_j}{\nabla^2}\gamma_0\partial_i\kappa,

여기서

\nabla^2

는 공간 라플라시안이고,

\psi^{TT}_i

는 이중 횡단^[6]으로 스핀 3/2를 가지며,

\kappa

는 질량이 없는 디랙 방정식을 만족하므로 스핀 1/2를 갖는다.

3. 2. 질량 껍질

질량 껍질 위에서, 2|n^영어개의 실수 성분을 갖는 스피너를 기반으로 한 (무질량) 라리타-슈윙거 장은 다음과 같은 수의 성분을 갖는다.^[9]

:

예를 들어, (1,3)차원 민코프스키 공간의 경우, 마요라나 스피너는 4개의 실수 성분을 가지며, 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4×1×½ = 2개의 자유도를 갖는다. (1,3)차원에서 중력장은 개의 자유도를 가지므로, (1,3)차원 초대칭에서 이들은 하나의 초다중항을 이룰 수 있다.

3. 3. 로런츠 군의 표현

(1,3)차원 민코프스키 공간에서 마요라나 스피너는 실수 성분 4개를 갖는다. 이 경우 마요라나 라리타-슈윙거 장은 4 × 3 = 12개의 실수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군

\operatorname{SO}(1,3)

(범피복군)의

:

(1,\tfrac12)\oplus(\tfrac12,1)

표현에 해당한다.

(1,5)차원에서 바일 스피너는 복소수 성분 4개를 가지며, 라리타-슈윙거 장은 4 × 5 = 20개의 복소수 성분을 갖는다. 이는 로런츠 군

\operatorname{SO}(1,5)

의 콤팩트화

\operatorname{Spin}(6) \cong \operatorname{SU}(4)

의 20차원 표현

:

\operatorname{Sym}^3\mathbf4 = \mathbf{20}

에 해당한다.

(1,10)차원에서 마요라나 스피너는 실수 성분 32개를 가지며, 마요라나-슈윙거 장은 32 × 10 = 320개의 실수 성분을 갖는다.

라리타-슈윙거 장은 로렌츠 군의 표현론(:en:Representation theory of the Lorentz group)에서

:

\left(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}\right)\otimes \left(\left(\tfrac{1}{2},0\right)\oplus \left(0,\tfrac{1}{2}\right)\right)

로 표현되며, 벡터장과 디랙 장의 텐서 곱으로 표현된다. 이 표현은

:

\left(1,\tfrac{1}{2}\right) \oplus \left(\tfrac{1}{2},1 \right)

로 쓸 수도 있다.

3. 4. 문제점

라리타-슈윙거 방정식 (또는 피에르-파울리 방정식)으로 질량이 있는 고스핀 장을 설명하는 현재 방식은 몇 가지 문제점을 안고 있다.

3. 4. 1. 초광속 전파

디랙 방정식의 경우처럼, 전자기적 상호작용은 편미분을 게이지 공변 미분으로 승격시켜 추가할 수 있다.

:

\partial_\mu \rightarrow D_\mu = \partial_\mu - i e A_\mu

.

1969년, 벨로와 츠반지거는 라리타-슈윙거 라그랑지언이 전자기학과 결합되면 파면을 나타내는 해를 갖는 방정식을 이끌어내는데, 이 중 일부는 빛보다 빠르게 전파된다는 것을 보였다. 즉, 이 경우, 장은 비인과적, 초광속 전파를 겪게 된다. 그 결과, 전자기적 상호작용에서의 양자화는 본질적으로 결함이 있다. 그러나 확장된 초중력에서는 다스와 프리드먼^[7]이 국소적인 초대칭성이 이 문제를 해결한다는 것을 보였다.

4. 역사

1941년에 미국의 윌리엄 라리타( William R. Rarita^영어 , 1907~1999)와 줄리언 슈윙거가 도입하였다.^[10]

참조

_[1] 서적 "The quantum theory of fields" Cambridge
_[2] 서적 "The quantum theory of fields" Cambridge
_[3] 서적 "The quantum theory of fields" Cambridge
_[4] 서적 Field theory, a Modern Primer
_[5] 논문 Massless Rarita-Schwinger equations: Half and three halves spin solution
_[6] 논문 Hamiltonian Formulation of Supergravity https://resolver.cal[...]
_[7] 논문 Gauge quantization for spin-3/2 fields
_[8] 논문 On a Theory of Particles with Half-Integral Spin
_[9] 저널 Ingredients of supergravity 2011-11
_[10] 저널 On a theory of particles with half-integral spin https://archive.org/[...] 1941

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